Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．试计算，
（1）当运动时间为多少时，直线PQ四边形截出四边形是一个平行四边形？
（2）在直线PQ所截出的平行四边形中，在PQ的对边任取一点O，连接OP、OQ，得到△OPQ，则△OPQ的面积与直线PQ所截出的平行四边形的面积有何关系？并说明理由．（在图1、图2中任取一种画出图形，说明理由即可．）

Answer 1

分析：（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形可知，①AP=BQ，②PD=CQ时都可以是平行四边形，然后列式进行计算即可求解；
（2）根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，过点O作AP的平行线即可得解．

解答：解：（1）设运动时间为t秒时，直线PQ四边形截出四边形是一个平行四边形，
①当AP=BQ时，AP=t，BQ=6-2t，
∴t=6-2t，
解得t=2，
②当PD=CQ时，AP=9-t，CQ=2t，
∴9-t=2t，
解得t=3秒，
此时点Q与点B重合，符合题意，
∴当运动时间为2秒或3秒时，直线PQ四边形截出四边形是一个平行四边形；

（2）△OPQ的面积平行四边形的面积的一半．
理由如下：如图1，过点O作OE∥AP，
则OE∥AP且OE=AP，
OE∥BQ且OE=BQ，
∴四边形AOEP与四边形OBQE都是平行四边形，
∴S_△OPE=

1

2

S_{平行四边形AOEP}，
S_△OQE=

1

2

S_{平行四边形OBQE}，
∴S_△OPE+S_△OQE=

1

2

S_{平行四边形AOEP}+

1

2

S_{平行四边形OBQE}=

1

2

S_{平行四边形ABQP}，
即S_△OPQ=

1

2

S_{平行四边形ABQP}，
同理可证，图2中S_△OPQ=

1

2

S_{平行四边形PQCD}．

点评：本题主要考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各中常见四边形的性质是解题的关键，本题需要注意分两种情况求解．