Question

（2012•扬州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2

5

，CD=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC=∠OCA，再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD．
（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．

解答：（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∴∠ADC=∠OCF=90°，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．

（2）解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
在Rt△ADC中，AC=2

5

，CD=2，
∴AD=4，
∴

2 5

AB

=

4

2 5

，
∴AB=5．

点评：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，是一道综合性较强的题目，作出相应辅助线是解题的关键．