Question

已知双曲线y=

k

x

（k＞0），过点M（m，m）（m＞

k

）作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别是A和B，MA、MB分别交双曲线y=

k

x

（k＞0）于点E、F．
（1）若k=2，m=3，求直线EF的解析式；
（2）O为坐标原点，连接OF，若∠BOF=22.5°，多边形BOAEF的面积是2，求k值．

Answer 1

分析：（1）将k的值代入确定出反比例解析式，将m的值代入确定出M坐标，根据图形得到E的横坐标与F的纵坐标都为3，代入反比例解析式中确定出E与F坐标，设直线EF解析式为y=kx+b，将E与F坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线EF的解析式；
（2）连接EF，OM，OE，由M横纵坐标相等得到四边形AOBM为正方形，由正方形的性质及∠BOF=22.5°，得到三角形BOF、三角形FCO、三角形ECO及三角形AOE全等，三角形BOF的面积等于|k|的一半，表示出四个面积之和，即为五边形BOAEF的面积，根据五边形的面积为2列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：（1）将k=2，m=3代入得：反比例解析式为y=

2

x

，M（3，3），
∵MA⊥x轴，MB⊥y轴，
∴E的横坐标为3，F纵坐标为3，
代入反比例解析式得：E（3，

2

3

），F（

2

3

，3），
设直线EF解析式为y=kx+b，
将E与F坐标代入得：

2 3 k+b=3 3k+b= 2 3

，
解得：

k=-1 b= 11 3

，
则直线EF解析式为y=-x+

11

3

；
（2）连接OM，EF，OE，OM与EF交于点C，
∵M（m，m），反比例解析式为y=

k

x

，
∴E（m，

k

m

），F（

k

m

，m），即E与F关于y=x对称，四边形AOBM为正方形，
∵∠BOF=22.5°，
∴∠BOF=∠COF=∠EOC=∠AOE=22.5°，
由对称性得到∠FCO=∠ECO=90°，
在△BOF和△AOE中，

∠OBF=∠OAE=90° OB=OA=m ∠BOF=∠AOE

，
∴△BOF≌△AOE（ASA），
同理△BOF≌△COF，△COF≌△AOE，
∴BF=AE=

k

m

，
又BM=AM=m，
∴S_△BOF=

1

2

m•

k

m

=

1

2

k，
∴S_{五边形BOAEF}=4S_△BOF=2k=2，
则k=1．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，以及待定系数法求一次函数解析式，灵活运用待定系数法是解本题第一问的关键．