【题目】△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形,其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角.
(1)如图①,若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形,且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时,请直接写出线段AD与线段EC的关系;
(2)若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形,且两个三角形旋转到如图②的位置时,试确定线段AD与线段EC的关系,并说明理由;
(3)若△ABC和△DBE为如图③的两个三角形,且∠ACB=α,∠BDE=β,在绕点B旋转的过程中,直线AD与EC夹角的度数是否改变?若不改变,直接用含α、β的式子表示夹角的度数;若改变,请说明理由.
【答案】(1)线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC,AD=EC;(2)AD⊥CE,理由详见解析; (3)直线AD与EC夹角的度数不改变,且夹角度数为(180-α-β)度.
【解析】
(1)连接AD、CE,然后证得△ABD≌△BCE,根据所得的等角和等边来判断AD、EC的关系.
(2)连接AD、EC并延长,设交点为点F,根据已知条件,易证得△ABD∽△CBE,得AB:BC=BD:BE,而∠1、∠2同为∠3的余角,则可证得△ABD=△CBE,得∠5=∠7+30°,而∠6=120°-∠5,由此可证得∠7+∠6=90°,即AD⊥CE.
(3)根据上面的求解过程可知:在绕点B旋转的过程中,直线AD与EC夹角的度数不改变,解题思路和方法同(2).
解:(1)线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC,AD=EC;
(2)如图②,连接AD、EC并延长,设交点为点F,∵△ABC∽△DBE,∴=,
∴=.∵∠ABC=∠DBE=90°,∴∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,
∴△ABD∽△CBE.∴=.在Rt△ACB中,∠ACB=30°,tan∠ACB=,∵tan30°=,∴.
∵∠DBE=90°,∠DEB=30°,∴∠4=60°,∴∠5+∠6=120°.∵△ABD∽△CBE,∴∠5=∠CEB=30°+∠7,∴∠7=∠5-30°,∠6=120°-∠5,∴∠7+∠6=90°,∴∠DFE=90°即AD⊥CE;
(3)在绕点B旋转的过程中,直线AD与EC夹角的度数不改变,且夹角度数为(180-α-β)度
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点B(4,2),BA⊥x轴于A.
(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1,并写出点A1、B1的坐标;
(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2,并写出点A2、B2的坐标.
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【题目】某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把1200立方米的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运x立方米,所需时间为y天,写出y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)若每辆拖拉机一天能运12立方米,则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完?
(3)在(2)的条件下,运了8天后,剩下的任务要在不超过6天的时间内完成,那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务?
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【题目】如图,在中,点、在边上,,.
试说明与相似.
若,,,请你求出与之间的函数关系式.
小明猜想:若,,,只要与之间满足某种关系式,问题中的函数关系式仍然成立.你同意小明的观点吗?如果你同意,请求出与所满足的关系式;若不同意,请说明理由.
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【题目】如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,其中正确的结论的个数是_____.
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【题目】如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,点D在⊙O上,连接AD,BD,∠A=∠B=30°.
证明:(1)BD是⊙O的切线
(2)如果BD=2求OC的长
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论:①abc>0;②b2=4ac;③4a+2b+c>0;④3a+c>0,其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y与投资量x成正比例关系,如图1所示:种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系,如图2所示(注:利润与投资量的单位:万元)
(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式;
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?
(3)在(2)的基础上要保证获利在22万元以上,该园林专业户应怎样投资?
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【题目】如图所示,污水处理公司为某楼房建一座周长为30米的三级污水处理池,平面图为矩形,米,中间两条隔墙分别为、,池墙的厚度不考虑.
(1)用含的代数式表示外围墙的长度;
(2)如果设计时要求矩形水池恰好被隔墙分成三个全等的矩形,且它们均与矩形相似,求此时的长;
(3)如果设计时要求矩形水池恰好被隔墙分成三个全等的正方形.已知池的外围墙建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价每米300元,池底建造的单价为每平方米100元.试计算此项工程的总造价.(结果精确到1元)
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