Question

5．如图，二次函数y=ax²-2amx-3am²（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，-3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）直接写出关于此函数图象的两条性质；
（2）用含m的代数式表示a；
（3）试求AD：AE的值；
（4）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象和解析式写出函数图象的两条性质即可；
（2）把点C（0，-3）代入y=ax²-2amx-3am²整理得到答案；
（3）过点D、E分别做x轴的垂线，用m表示点A、B的坐标，根据CD∥AB确定点D的坐标，证明△ADM∽△AEN，得到成比例线段，代入计算即可；
（4）作FH⊥x轴于H，连接FC并延长，与x轴的负半轴交于点G，运用锐角三角函数的概念和勾股定理表示出GF、AD、AE，根据勾股定理的逆定理证明即可．

解答 解：（1）1．∵a＞0，∴抛物线开口向上；
∵-3am²＜0，∴抛物线交于y轴的负半轴．
（2）将点C（0，-3）代入y=ax²-2amx-3am²得，
a=$\frac{1}{{m}^{2}}$；
（3）过点D、E分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
由ax²-2amx-3am²=0得，x₁=-m，x₂=3m，
则A（-m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，-3），
∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，又∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AM}{AN}=\frac{DM}{EN}$，
设点E的坐标为（x，$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{2x}{m}$-3），
则$\frac{3}{\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2x}{m}-3}$=$\frac{3m}{x-（-m）}$，
解得x=4m，∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{3}{5}$；
（4）设点F（m，-4），作FH⊥x轴于H，连接FC并延长，与x轴的负半轴交于点G，
则点G即为所求，
∵tan∠CGO=$\frac{OC}{OG}$，tan∠FGH=$\frac{HF}{HG}$，
∴$\frac{OC}{OG}$=$\frac{HF}{HG}$，∴OG=3，
∵GF=$\sqrt{G{H}^{2}+H{F}^{2}}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
AD=$\sqrt{A{M}^{2}+M{D}^{2}}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴$\frac{GF}{AD}$=$\frac{4}{3}$，又∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为-3m．

点评 本题考查的是二次函数的性质和应用、三角形相似的判定和性质，正确找出辅助线、运用数形结合思想是解题的关键，注意坐标与图形的关系．