Question

9．如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC、AD上的中点，且∠BAC=90°，
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质1可得AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，再根据中点的性质可得BE=DF，然后利用SAS判定△ABE≌△CDF即可；
（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AE=EC，从而可判定四边形AECF是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE=DF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠B=∠D}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形AECF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E为BC中点，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形AECF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；邻边相等的平行四边形是菱形．