【题目】如图1,已知菱形ABCD的边长为2,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点。点D的坐标为(,3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3)
①是否存在这样的t,使DF=FB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(直接写出答案即可)
【答案】(1)y=x2+3;(2)①t=或t= ;②t
【解析】
(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式;
(2)①由D(,3),则平移后坐标为D(+t,3),F(t,-t2+3);则有DF2=(+t-t)2+(-t2+3-3)2;FB2=(-t2+3)2,再根据DF=FB,即可求得t;
②如图3所示,画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出的取值范围,确定限制条件是解题的关键
(1)由题意得AB的中点坐标为(,0),CD的中点坐标为(0,3),
分别代入y=ax2+b得:,解得,
∴y=x2+3.
(2)①D(,3),则平移后坐标为D(+t,3),F(t,-t2+3);
DF2=(+t-t)2+(-t2+3-3)2;FB2=(-t2+3)2
DF=FB,则(+t-t)2+(-t2+3-3)2=7(-t2+3)2
解得:t2=2或5,则t=或t=;
②如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N.
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′BE且MNC′N.
∵F(t,3t2),∴EF=3(3t2)=t2,∴EE′=2EF=2t2,
由EE′BE,得2t23,解得t.
∵C′E′=CE=,∴C′点的横坐标为t,
∴MN=3(t)2,又C′N=BE′=BEEE′=32t2
由MNC′N,得3(t)232t2,解得t或t(舍去).
∴t的取值范围为:t.
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【题目】解不等式组.
(1)直接写出不等式组的解集 ,并求出它的整数解;
(2)有四张不透明的卡分别写上上面的整数解,随机抽出一张并放回再抽出一张,求出两次整数的和,请用列表或画树形图,求出两次的和为﹣1的概率.
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【题目】2017年中秋节来期间,某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是 ______ ,销量是 ______ ;
(2)经两周后还剩余月饼 ______ 盒;
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51360元,那么第二周的单价应是多元?
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【题目】随着我省“大美青海,美丽夏都”影响力的扩大,越来越多的游客慕名而来。根据青海省旅游局《2015年国庆长假出游趋势报告》绘制了如下尚不完整的统计图。
根据以上信息解答下列问题:
(1)2015年国庆期间,西宁周边景区共接待游客___万人,扇形统计图中“青海湖”所对应的圆心角的度数是___,并补全条形统计图;
(2)甲乙两个旅行团在青海湖、塔尔寺、原子城三个景点中,同时选择去同一个景点的概率是多少?请用画树状图或列表法加以说明,并列举所有等可能的结果。
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE,AF的长.
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【题目】解方程:
(1)x2﹣11x﹣12=0(因式分解法)
(2)x2+4x﹣5=0(配方法)
(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)
(4)2x2﹣7x+3=0(公式法)
(5)﹣x2+4x=3(方法自选)
(6)⑥(x﹣2)(2x+1)=1+2x(方法自选)
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【题目】良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用,荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食,而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食,只有荤食与素食适当搭配,才能强化初中生的身体素质.某校为了了解学生的体质健康状况,以便食堂为学生提供合理膳食,对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查,过程如下:
收集数据:从七、八年级两个年级中各抽取15名学生,进行了体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:
七年级:74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级:81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据:
年级 | x<60 | 60≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x≤100 |
七年级 | 0 | 10 | 4 | 1 |
八年级 | 1 | 5 | 8 | 1 |
(说明:90分及以上为优秀,80~90分(不含90分)为良好,60~80分(不含80分)为及格,60分以下为不及格)
分析数据:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
七年级 |
| 75 | 75 |
八年级 | 77.5 | 80 |
|
得出结论:
(2)可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些,并说明理由;
(3)若七年级共有300名学生,请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数.
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【题目】如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为12m,拱高CD为4m.
(1)求拱桥的半径;
(2)有一艘宽为5m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面3.4m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由;
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