Question

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B（10，4），D是矩形边BC上的一点，将矩形沿过点D的直线折叠，使B的对应点B′落在x轴的正半轴上
（1）当点O与B′重合时，点D的坐标为（4.2，4）；
（2）连接B′C′，若△B′DC是以B′D为腰的等腰三角形，则点B′的坐标是（2，0）或（$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$，0）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当B′与O重合时，设BD=DO=x，在RtCDO中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）分两种情形①如图2中，当DB′=CD=DB=5时，作DM⊥OA于M，在Rt△DMB′中，根据MB′=$\sqrt{DB{′}^{2}-D{M}^{2}}$即可解决．②如图3中，当DB′=B′C时，设OB′=x，则CM=MD=x，DB=DB′=B′C=10-2x，在Rt△COB′中，利用勾股定理列出方程即可解决．

解答 解：（1）如图1中，当B′与O重合时，设BD=DO=x，

在Rt△CDO中，∵OD²=CD²+CO²，
∴x²=（10-x）²+4²，
∴x=5.8，
∴CD=10-5.8=4.2，
∴点D坐标（4.2，4）．
故答案为（4.2，4）．

（2）如图2中，当DB′=CD=DB=5时，作DM⊥OA于M，

在Rt△DMB′中，MB′=$\sqrt{DB{′}^{2}-D{M}^{2}}$=3，
∴OB′=OM-MB′=2，
∴B′坐标为（2，0）．
如图3中，当DB′=B′C时，设OB′=x，则CM=MD=x，DB=DB′=B′C=10-2x，

在Rt△COB′中，∵B′C²=CO²+OB′²，
∴（10-2x）²=4²+x²，
∴x=$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$或$\frac{20+2\sqrt{37}}{3}$（舍弃），
综上所述若△B′DC是以B′D为腰的等腰三角形，则点B′的坐标为（2，0）或（$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$，0）．
故答案为（2，0）或（$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$，0）．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理，构建方程解决问题，属于中考常考题型．