Question

16．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE；
（1）①依据题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系为∠ADC+∠CDE=180°；
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM、AE和BE之间的敦量关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若AD=1，CD=$\sqrt{2}$，BC边的中点为P，点G是线段DE上一个动点，当△CDE绕点C旋转的过程中，则PG的最小值为0；PG的最大值为$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转的性质，即可解答；
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：根据旋转的性质，证明A、D、E三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE．再证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．又CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM，所以AE=BE+2CM．
（3）先构造出直角三角形求出AC，即可得出CP的值，再求出点C到线段DE的最大值和最小值，进而得出点C到DE的最小值＜CP＜点C到DE的最大值，即可确定出PG的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）①如图所示：

②∠ADC+∠CDE=180°．
理由：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
故答案为：∠ADC+∠CDE=180°；

（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上．
∴AE=AD+DE．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．
∴DE=2CM．
∴AE=BE+2CM．

（3）如图1，

将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，
连接DG，CG，
∴∠DAG=90°，AG=AG=1，
∴DG=$\sqrt{2}$，∠ADG=∠AGD=45°，
∵∠ADC=135°，
∴∠CDG=90°，
在Rt△CDG中，DG=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴CG=2，∠DGC=45°，
∴∠AGC=∠AGD+CGD=90°，
在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BC=AC=$\sqrt{5}$，
∵点P是BC的中点，
∴CP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
如图2，

过点C作CM⊥AE，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴DE=$\sqrt{2}$CD=2，
∴CM=$\frac{1}{2}$DE=1，
∴△CDE绕点C旋转的过程中，线段DE上点到点C的距离的范围为大于等于1，小于等于$\sqrt{2}$，
∵1＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜$\sqrt{2}$，
∴△CDE绕点C旋转的过程中，线段DE上存在点必过BC的中点P，所以PG的最小值为0，
当△CDE绕点C旋转到CD（或CE）在BC的延长线时，点D（或E）到点P的距离为CD（或CE）+CP=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即：PG最大为$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为0，$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和旋转，勾股定理，解（2）的关键是判断出△ACD≌△BCE，解（3）的关键是求出AC的长，是一道难度比较大的中考常考题．