Question

如图，AC=6，B是AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，过点B作BD⊥AC，交半圆于点D，设以AB为直径的圆的圆心为O₁，半径为r₁；以BC为直径的圆的圆心为O₂，半径为r₂．
（1）求证：BD²=4r₁r₂；
（2）以AC所在的直线为x轴，BD所在直线为y轴建立直角坐标系，如果r₁：r₂=1：2，求经过A、D、C三点的抛物线的函数解析式；
（3）如果（2）所确定的抛物线与以AC为直径的半圆交于另一点E，已知P为

ADE

上的动点（P与A、E点不重合），连接弦CP交EO₂于F点，设CF=x，CP=y，求y与x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在以AC为直径的半圆中，连接AD、CD，则∠ADC=90°，根据射影定理即可得出所求的结论．
（2）根据r₁：r₂=1：2，可知AB：BC=1：2．AC=6，因此AB=2，BC=4．根据射影定理可求得OD=2

2

，由此可得出A、C、D三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（3）连接AP，则∠APC=90°，可通过证△CO₂F∽△CAP来得出y，x的函数关系式．

解答：（1）证明：连接AD、DC．
在Rt△ADC中，BD⊥AC
∴DB²=AB•BC
∵AB=2r₁，BC=2r₂，
∴DB²=4r₁r₂

（2）解：∵r₁：r₂=1：2，且2r₁+2r₂=6
∴r₁=1，r₂=2
即DB=2

2

所以A（-2，0）、C（4，0）、D（0，2

2

）
因此设抛物线为y=a（x+2）（x-4）
解得a=-

2

4

．
所求抛物线解析式为y=-

2

4

x²+

2

2

x+2

2

；

（3）解：由（2）可求抛物线的对称轴为x=1
∵抛物线与半圆的另一个交点E应为D点关于x=1的对称点
∴利用对称性可求得E（2，2

2

）
连接PE、EC
由已知可得O₂（2，0），故EO₂⊥x轴
由垂径定理可知∠P=∠CEO₂
（或连接AE，利用∠P=∠EAC=∠CEO₂）
∴△ECP∽△FCE
∴

EC

FC

=

CP

CE

故EC²=FC•CP
设CF=x，CP=y
又在Rt△CEO₂中CE²=EO₂²+O₂C²=（2

2

）²+2²=12
（或利用EC²=CO²•CA=2×6=12）
∴xy=12，y=

12

x

（2＜x＜2

3

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、三角形相似、垂径定理、圆与圆的位置关系等知识点，综合性较强．