Question

13．如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=8$\sqrt{3}$，半径为$\sqrt{3}$的⊙P与线段BD相切于点M，圆心P与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动．
发现：BD=16；∠CBD的度数为30°；
拓展：
①当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积；
②在滚动过程中如图2，求AP的最小值；
探究：
①若⊙P与矩形ABCD的两条对角线都相切如图3，求此时线段BM的长，并直接写出tan∠PBC的值；
②在滚动过程中如图4，点N是AC上任意一点，直接写出BP+PN的最小值．

Answer 1

分析 发现：由四边形ABCD是矩形，得到∠BCD=90°，DC=AB=8，根据勾股定理得到BD=16，根据特殊角的三角函数值即可得到结论；
拓展：①如图1，连接PH，过点P作PE⊥BC于点E，根据切线的性质得到∠PBD=90°，根据直角三角形的性质得到BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到S_扇形PBH=$\frac{60π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$π，S_△PBH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即可得到结论；
②如图2，当AP⊥BD时，AP有最小值，解直角三角形即可得到结论；
探究：①如图3，当点P在△BOC内时，根据切线的性质得到∠BOP=60°，求得BM=7，于是得到tan∠PBC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，如图4，当点P在△DOC内时，根据切线的性质得到∠DOP=30°，于是得到tan∠PBC=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
②如图5，过P作直线l∥BD，作B关于直线l的对称点B′，过B′，P作直线PB′交BD于K，交AC于N，则此时PB+PN的值最小，且B′N=PB+PN，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：发现：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，DC=AB=8，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{3}）^{2}+{8}^{2}}$=16，
∵sin∠CBD=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBD=30°，
故答案为：16，30°； 

拓展：①如图1，连接PH，过点P作PE⊥BC于点E，
∵⊙P与线段BD相切于点B
∴∠PBD=90°
∴∠CBP=60°
∵PB=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵PB=PH
∴∠BPH=60°，BH=$\sqrt{3}$
∴S_扇形PBH=$\frac{60π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$π，S_△PBH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积为$\frac{1}{2}$π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
②如图2，当AP⊥BD时，AP有最小值，
∵AD=8$\sqrt{3}$，∠ADB=30°，
∴AM=4$\sqrt{3}$，
∴AP的最小值为5$\sqrt{3}$，

探究：①如图3，当点P在△BOC内时，
∵⊙P与AC、BD相切，
∴∠BOP=60°，
∴OM=1，
∴BM=7，
此时tan∠PBC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
如图4，当点P在△DOC内时，
∵⊙P与AC、BD相切，
∴∠DOP=30°，
∴OM=3，
∴BM=11，
此时tan∠PBC=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
②如图5，
过P作直线l∥BD，作B关于直线l的对称点B′，过B′，P作直线PB′交BD于K，交AC于N，
则此时PB+PN的值最小，且B′N=PB+PN，
连接PM，
∴PM⊥BD，
∵BB′⊥l，
∴BB′⊥BD，
∴PM∥BB′，
∵∠DBC=30°，
∴∠CBB′=60°，
∴△PBB′是等边三角形，
∴∠B′=60°，
∴B′K=2BB′=4PM=4$\sqrt{3}$，
∵∠KPC=∠BPB′=60°，
∴∠ONK=90°，
∴∠NKO=∠BKP=30°，
∵MK=$\sqrt{3}$PM=3，
∴OK=8-6=2，
∴NK=$\sqrt{3}$，
∴PB+PN的最小值=B′K+NK=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称-最小距离问题，扇形面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．