Question

12．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，E在边AB上，AB=12，BC=6，当ED=$\frac{1}{2}$CD，则CE=3$\sqrt{7}$或3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①E在AD上；②E在BD上；根据勾股定理进行讨论计算即可求解．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=12，BC=6，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB=6，
①如图1，E在AD上，
连结CE，过E点作EF⊥BC于F，
∵ED=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=3，
∴BE=9，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=4.5，
∴在Rt△BFE中，EF=$\sqrt{{9}^{2}-4．{5}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∵CF=BC-BF=6-4.5=1.5，
∴在Rt△CFE中，CE=$\sqrt{1．{5}^{2}+（\frac{9\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3$\sqrt{7}$；
②如图2，E在BD上，
连结CE，过E点作EF⊥BC于F，
∵ED=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=3，
∴BE=3，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=1.5，
∴在Rt△BFE中，EF=$\sqrt{{3}^{2}-1．{5}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵CF=BC-BF=6-1.5=4.5，
∴在Rt△CFE中，CE=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+4．{5}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
故CE=3$\sqrt{7}$或3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{7}$或3$\sqrt{3}$．

点评 考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30°的直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．