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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒
    		3
    cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP． 一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
    （1）△PBM与△QNM相似吗？请说明理由；
    （2）若∠ABC=60°，AB=4
    		3
    cm．
    ①求动点Q的运动速度；
    ②设△APQ的面积为s（cm2），求S与t的函数关系式．（不必写出t的取值范围）
    （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，请说明理由．
    分析：（1）由条件可以得出∠BMP=∠NMQ，∠B=∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
    （2）①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的运动速度；
    ②先由条件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式；
    （3）延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四边形BDCQ为平行四边形，再由勾股定理和中垂线的性质就可以得出PQ2=CQ2+BP2．
    解答：解：（1）△PBM∽△QNM．理由：
    ∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
    ∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
    ∴∠PMB=∠QMN．
    ∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
    ∴∠B=∠MNQ，
    ∴△PBM∽△QNM．

    （2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
    ∴BC=2AB=8
    		3
    cm．AC=12cm，
    ∵MN垂直平分BC，
    ∴BM=CM=4
    		3
    cm．
    ∵∠C=30°，
    ∴MN=
    		3
    3
    CM=4cm．
    ①设Q点的运动速度为vcm/s．
    ∵△PBM∽△QNM．
    ∴
    NQ
    BP
    =
    MN
    MB
    ，
    ∴
    vt
    		3
    t
    =
    4
    4
    		3
    ，
    ∴v=1，
    答：Q点的运动速度为1cm/s．
    ②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
    ∴AP=4
    		3
    -
    		3
    t，AQ=4+t，
    ∴S=
    1
    2
    AP•AQ=
    1
    2
    （4
    		3
    -
    		3
    t）（4+t）=-
    		3
    2
    t2+8
    		3
    ．（0＜t≤4）
    当t＞4时，AP=-
    		3
    t+4
    		3
    =（4-t）
    		3
    ．
    则△APQ的面积为：S=
    1
    2
    AP•AQ=
    1
    2
    （-
    		3
    t+4
    		3
    ）（4+t）=
    		3
    2
    t2-8
    		3
    ．

    （3）PQ2=CQ2+BP2．
    理由：延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，
    ∵M是BC边的中点，
    ∴BM=CM，
    ∴四边形BDCQ是平行四边形，
    ∴BD∥CQ，BD=CQ．
    ∴∠BAC+∠ABD=180°．
    ∵∠BAC=90°，
    ∴∠ABD=90°，
    在Rt△PBD中，由勾股定理得：
    PD2=BP2+BD2，
    ∴PD2=BP2+CQ2．
    ∵MQ⊥MP，MQ=MD，
    ∴PQ=PD，
    ∴PQ2=BP2+CQ2．
    点评：本题是一道运用相似的相关知识解答的综合试题，考查了相似三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的判定与性质的运用，中垂线的判定与性质的运用，解答本题时求出△PBM∽△QNM是关键．正确作出辅助线是难点．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动精英家教网；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．
    （1）当x为何值时，PQ∥BC；
    （2）当
    S△BCQ
    S△ABC
    =
    1
    3
    ，求
    S△BPQ
    S△ABC
    的值；
    （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
    （1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

    （2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
    （3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
    （1）当x为何值时，BP=CQ；
    （2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=
    1
    2
    ∠ABC（0°＜∠CBE＜∠
    1
    2
    ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，
    求证：DE′=DE．
    （2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=
    1
    2
    ∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
    求证：DE2=AD2+EC2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm，的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
    （1）当x为何值时，BP=CQ
    （2）当x为何值时，PQ∥BC
    （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

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