如图1.在Rt△ABC中.∠A=90°.BC=10cm.点P.点Q同时从点B出发.点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动.终点为C.点Q以1cm/s的速度沿B→C运动.当点P到达终点时两个点同时停止运动.设点P.Q出发t秒时.△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM和MN均为抛物线的一部分).给出以下结论:①AC=6cm,②曲线MN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，点P、点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q以1cm/s的速度沿B→C运动，当点P到达终点时两个点同时停止运动，设点P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC=6cm；②曲线MN的解析式为y=-$\frac{4}{5}$t²+$\frac{28}{5}$t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$；④若△PQC与△ABC相似，则t=$\frac{40}{7}$秒．其中正确的是（　　）

A．

①②④

B．

②③④

C．

①③④

D．

①②③

分析 ①根据图2可知：P走完AB用了4秒，得AB=2×4=8cm，利用勾股定理得AC的长；
②当P在AC上时，4≤t≤7，利用同角的三角函数表示高PD的长，利用三角形面积公式可得y与t的关系式；
③当P与A重合时，PQ最大，如图4，此时t=4，求出PQ的长；
④当P在AC上时，△PQC与△ABC，列比例式可得t的值．

解答解：①由图2可知：t=4时，y=$\frac{48}{5}$，
∴AB=2×4=8cm，
∵∠A=90°，BC=10cm，
∴AC=6cm，
故①正确；
②当P在AC上时，如图3，过P作PD⊥BC于D，
此时：$\frac{6+8}{2}$=7，
∴4≤t≤7，
由题意得：AB+AP=2t，BQ=t，
∴PC=14-2t，
sin∠C=$\frac{PD}{PC}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PD}{14-2t}$=$\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
∴PD=$\frac{4（14-2t）}{5}$，
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PD=$\frac{1}{2}$t$•\frac{4（14-2t）}{5}$=-$\frac{4}{5}{t}^{2}+\frac{28}{5}t$；
故②正确；
③当P与A重合时，PQ最大，如图4，此时t=4，
∴BQ=4，
过Q作GH⊥AB于H，
sin∠$\frac{QH}{BQ}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{QH}{4}=\frac{6}{10}$，
∴QH=$\frac{12}{5}$，
同理：BH=$\frac{16}{5}$，
∴AH=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴PQ=$\sqrt{A{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}\sqrt{5}$；
∴线段PQ的长度的最大值为$\frac{12}{5}\sqrt{5}$；
故③不正确；
④若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
分两种情况：
PC=14-2t，QC=10-t，
i）当△CPQ∽△CBA，如图5，则$\frac{PC}{CB}=\frac{CQ}{AC}$，
∴$\frac{14-2t}{10}=\frac{10-t}{6}$，
解得t=-8不合题意．
ii）当△PQC∽△BAC时，如图5，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$，
∴$\frac{14-2t}{6}=\frac{10-t}{10}$，
t=$\frac{40}{7}$；
∴若△PQC与△ABC相似，则t=$\frac{40}{7}$秒，
故④正确；
其中正确的有：①②④，
故选A．

点评本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相似或三角函数列方程解决问题．

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