Question

15．已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形固定△AOB，将△COD绕点O旋转，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）如果△COD转至如图①点B、O、D共线的位置，判断并证明四边形EFGH是怎样的四边形．
（2）如果△COD转至如图②两边不共线的位置，以上结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△AOB和△COD都是等腰直角三角形，点B、O、D共线，得出AC=BD，AC⊥BD，再根据三角形中位线定理，得到四边形EFGH是菱形，且∠EFG=90°，最后得出四边形EFGH是正方形；
（2）先连接AC、BD，交于点P，BD与CO交于点Q，根据SAS判定△AOC≌△BOD，得出AC=BD，且AC⊥BD，再运用（1）中的方法，判定四边形EFGH是正方形即可．

解答 解：（1）如图，四边形EFGH是正方形．
理由：∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴CO=DO，BO=AO，∠COD=∠AOB=90°，
又∵点B、O、D共线，
∴点A、O、C共线，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴根据三角形中位线定理，可得
EF=GH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=EH=FG，且EF∥AC，FG∥BD，
∴四边形EFGH是菱形，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形；

（2）△COD转至两边不共线的位置，四边形EFGH是正方形．
理由：如图，连接AC、BD，交于点P，BD与CO交于点Q，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴CO=DO，BO=AO，∠COD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠PCQ=∠ODQ，
又∵∠CQP=∠DQO，
∴∠CPQ=∠DOQ=90°，
∴AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴根据三角形中位线定理，可得
EF=GH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=EH=FG，且EF∥AC，FG∥BD，
∴四边形EFGH是菱形，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 本题以旋转为背景，主要考查了中点四边形的问题，综合运用了正方形的判定定理，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，解决问题的关键是根据三角形中位线定理，得出四边形EFGH的四条边相等，有一个角是直角．