Question

9．已知，在?ABCD中，连接对角线AC，∠CAD平分线AF交CD于点F，∠ACD平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE=∠GCD．
（1）如图1，若△ACD是等边三角形，OC=2，求?ABCD的面积；
（2）如图2，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD=90°，求证：CE+2OF=AC．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形ABCD的面积=2•S_△ACD，求出△ACD的面积即可．
（2）如图2中，延长OF到M，使得FM=OF，连接CM．只要证明AC=AM，OA=AG=CE即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵△ACD是等边三角形，
∴AC=CD=AD，∠ACD=∠D=∠CAD=60°，
∵∠OAC=∠OCA=30°，
∴OA=OC=2，
∵CG平分∠ACD，
∴CG⊥AD，
 在Rt∠AOG中，∵∠OAG=30°OA=2，
∴OG=$\frac{1}{2}$OA=1，AG=$\sqrt{3}$，
∴AD=2AG=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AD•CG=$\frac{1}{2}$$•2\sqrt{3}$•3=3$\sqrt{3}$．
∴平行四边形ABCD的面积=2•S_△ACD=6$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，延长OF到M，使得FM=OF，连接CM．

∵△ACD是等腰直角三角形，AF、CG是角平分线，
∴AF⊥CF，∠OAC=∠D=∠ACD=45°，∠OCA=∠DCG=22.5°，
∴∠COF=∠OAC+∠OCA=67.5°，∠AGC=∠D+∠GCD=67.5°，
∴∠AOG=∠AGO，
∴OA=AG，
∵CF⊥OM，OF=OM，
∴CO=CM，
∴∠M=∠COM=67.5°，
∴∠ACM=180°-∠CAM-∠M=67.5°，
∴∠CAM=∠M，
∴CA=AM，
∵∠BAE=∠GCD=22.5°，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
∴∠EAC=∠ACG=22.5°，
∴AE∥CG，∵EC∥AG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CE=AG=OA，
∴AC=AM=OA+OM=CE+2OF．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．