Question

如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段的垂直平分线，推出AO＝，BO＝，求出AO＝＝BO＝，即可推出答案； 　　(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可． 　　解答：(1)证明：∵点O关于直线y＝x＋b的对称， 　　∴直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线， 　　∴AO＝，BO＝， 　　又∵OA，OB是⊙O的半径， 　　∴OA＝OB， 　　∴AO＝＝BO＝， 　　∴四边形是菱形． 　　(2)解：如图，当点落在圆上时，OM＝＝1， 　　∵设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)， 　　∴△ONP为等腰直角三角形， 　　∴∠ONP＝45°， 　　∵四边形是菱形， 　　∴OM⊥PN， 　　∵∠ONP＝45°＝∠OPN， 　　∴OM＝PM＝MN＝1， 　　在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝， 　　即b＝． 　　点评：本题考查了一次函数，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：图形和已知条件的结合，题目比较典型，难度也适中，是一道比较好的题目．

提示：

一次函数综合题；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定．