Question

如图，已知抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），把两点代入联立解方程组求得a、b．
（2）令y=0，得x²+2x-3=0，可以解得C点坐标，过点P作PD⊥y轴，垂足为D，可证PD=BD，进而求出P点坐标．
（3）由（2）知，BC⊥BP当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上，若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，可求出直线PQ的解析式，直线与抛物线联立，求得P坐标．
解答：解：（1）把A（1，0），B（0，-3）代入y=x²+bx-3a，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（2）过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
令y=0，得x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴点C（-3，0），
∵B（0，-3），
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∵PB⊥BC，
∴∠PBD=45°，
∴PD=BD．
∴可设点P（x，-3+x），
则有-3+x=x²+2x-3，
∴x=-1，
∴P点坐标为（-1，-4）；

（3）由（2）知，BC⊥BP，
（i）当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上；
（ii）当BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，
∵B（0，-3），C（-3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x-3，
∵直线PQ∥BC，
∴直线PQ的解析式为y=-x+b，
又P（-1，-4），
∴PQ的解析式为：y=-x-5，
联立方程组得，
解得x₁=-1，x₂=-2，
∴x=-2，y=-3，
即点Q（-2，-3），
∴符合条件的点Q的坐标为（-2，-3）．
点评：本题是二次函数的综合题，涉及的知识面很广，会求抛物线的解析式，直线和抛物线的交点问题．此题有点繁琐．