Question

【题目】如图1，已知在矩形ABCD中，AD＝10，E是CD上一点，且DE＝5，点P是BC上一点，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE．

（1）求证：∠APE＝90°；

（2）求AB的长；

（3）如图2，点F在BC边上且CF＝4，点Q是边BC上的一动点，且从点C向点B方向运动．连接DQ，M是DQ的中点，将点M绕点Q逆时针旋转90°，点M的对应点是M′，在点Q的运动过程中，①判断∠M′FB是否为定值？若是说明理由．②求AM′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝8；（3）①∠M′FB为定值，理由见解析；②当AM'⊥FM'时，AM'的值最小，AM'＝2．

【解析】

（1）由SAS证明△APE≌△ADE得出∠APE＝∠D＝90°即可；

（2）由全等三角形的性质得出PE＝DE＝5，设BP＝x，则PC＝10﹣x，证明△ABP∽△PCE，得出，得出AB＝20﹣2x，CE＝x，由AB＝CD得出方程，解方程即可得出结果；

（3）①作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，证明△HQM'≌△GMQ得出HM'＝GQ，QH＝MG＝4，设HM'＝x，则CG＝GQ＝x，FG＝4﹣x，求出QF＝GQ﹣FG＝2x﹣4，得出FH＝QH+QF＝2x，由三角函数得出tan∠∠M′FB＝，即可得出结论；②当AM'⊥FM'时，AM'的值最小，延长HM'交DA延长线于N，则NH＝AB＝8，NM'＝8﹣x，AN＝BH＝HQ﹣BQ＝2x﹣6，同①得：△ANM'∽△M'HF，得出，解得：x＝4，得出AN＝2，NM'＝4，在Rt△ANM'中，由勾股定理即可得出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝10，AB＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵AD＝10，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE，

∴AP＝AD，∠PAE＝∠DAE，

在△APE和△ADE中，，

∴△APE≌△ADE（SAS），

∴∠APE＝∠D＝90°；

（2）由（1）得：△APE≌△ADE，

∴PE＝DE＝5，

设BP＝x，则PC＝10﹣x，

∵∠B＝90°，∠APE＝90°，

∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠CPE＝90°，

∴∠BAP＝∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即＝2，

∴AB＝20﹣2x，CE＝x，

∵AB＝CD，

∴20﹣2x＝5+x，

解得：x＝6，

∴AB＝20﹣2x＝8；

（3）①∠M′FB为定值，理由如下：

作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，如图2所示：

则MG∥CD，∠H＝∠MGQ＝90°，

∴∠QMG+∠MQG＝90°，

∵M是DQ的中点，

∴QG＝CG，

∴MG是△CDQ的中位线，

∴MG＝CD＝AB＝4，

由旋转的性质，QM'＝QM，∠M'QM＝90°，

∴∠HQM'+∠MQG＝90°，

∴∠HQM'＝∠QMG，

在△HQM'和△GMQ中，，

∴△HQM'≌△GMQ（ASA），

∴HM'＝GQ，QH＝MG＝4，

设HM'＝x，则CG＝GQ＝x，

∴FG＝4﹣x，

∴QF＝GQ﹣FG＝2x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，

∴FH＝QH+QF＝2x，

∴tan∠M′FB＝＝，

∴∠M′FB为定值；

②当AM'⊥FM'时，AM'的值最小，延长HM'交DA延长线于N，如图3所示：

则NH＝AB＝8，NM'＝8﹣x，AN＝BH＝HQ﹣BQ＝4﹣（10﹣2x）＝2x﹣6，

同①得：△ANM'∽△M'HF，

∴＝＝，

∴＝，

解得：x＝4，

∴AN＝2，NM'＝4，

在Rt△ANM'中，由勾股定理得：AM'＝．