Question

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，求证DC=BC可以证明∠CAD=∠BAC，进而证明

DC

=

BC

；
（2）AB=5，AC=4，根据勾股定理就可以得到BC=3，易证△ACE∽△ABC，则∠DCE=∠BAC，则tan∠DCE的值等于tan∠BAC，在直角△ABC中根据三角函数的定义就可以求出．

解答：（1）证明：连接OC．               （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．                   （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．                       （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．                  （4分）
∴

DC

=

BC

．
∴DC=BC．                        （5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=

AB2-AC2

=

52-42

=3．  （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．                 （7分）
∴

EC

BC

=

AC

AB

．
∴

EC

3

=

4

5

EC=

12

5

．              （8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=

DC2-CE2

=

32-( 12 5 )2

=

9

5

．（9分）
∴tan∠DCE=

ED

EC

=

9 5

12 5

=

3

4

．            （10分）

点评：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等，并且本题考查了三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关．