Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.注：二次函数的对称轴是直线.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在，P坐标为时，周长最小.

【解析】

（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为y=-x2+bx+3，然后将A（-1，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP+DP最小，由于点C和点D关于对称轴对称，∴连接BC交抛物线对称轴于点P，此时点P即为所求．

(1)∵

∴A（-1,0），C(0,3)

∴，抛物线

将代入得，

；

(2)存在，理由如下：

如图：的对称轴为

由于点A和点B关于对称轴对称

∴由对称性可知

由于B(0,3),D(2,3)，所以根据勾股定理可知BD为定值，则BP+DP最小时，△BDP的周长最小，

由∵C(0,3),D(2,3)

∴C、D两点关于抛物线对称轴对称，即连接BC交直线x=1为点P，此时△BDP的周长最小.

设

把代入得

令得

点P坐标为时，最小，即周长最小.