Question

20．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB：BC=5：4，点P、Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿BA-AC运动，点Q以每秒7个单位长度的速度沿BC-CA运动，当点P、Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，（其中0＜t≤a，a＜t≤b时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC=28，b=7；
（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据当点Q与点C重合时，S=168，即可得到t=4，进而得出BC的长以及点P、Q相遇的时间；
（2）由（1）可得，当0≤t＜4时，S=$\frac{21}{2}{t}^{2}$，过Q作QE⊥AB于E，根据Rt△AEQ中，EQ=$\frac{4}{5}$（49-7t），即可得到S=-14t²+98t（4≤t≤7）．

解答 解：（1）如图1，由题可得，BP=5t，BQ=7t，
过P作PD⊥BC于D，则△PBD∽△ABC，
又∵AB：BC=5：4，
∴PD=$\frac{3}{5}$BP=3t，
∴S=$\frac{1}{2}$×7t×3t=$\frac{21}{2}{t}^{2}$，
∴当点Q与点C重合时，S=168，即168=$\frac{21}{2}{t}^{2}$，
解得t=4，（负值已舍去）
∴BC=4×7=28，a=4，
∴AC=$\frac{3}{4}$BC=21，AB=$\frac{5}{4}$BC=35，
∴点P、Q相遇的时间=$\frac{35+28+21}{5+7}$=7（s），
∴b=7，
故答案为：28，7；

（2）由（1）可得，当0≤t＜4时，S=$\frac{21}{2}{t}^{2}$，
∵7×5=35，
∴两点在点A处相遇，
如图3，过Q作QE⊥AB于E，则△AQE∽△ABC，
∵AQ=21+28-7t=49-7t，
∴Rt△AEQ中，EQ=$\frac{4}{5}$AQ=$\frac{4}{5}$（49-7t），
∴S=$\frac{1}{2}$×5t×$\frac{4}{5}$（49-7t）=-14t²+98t（4≤t≤7），
综上所述，S关于t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{21}{2}{t}^{2}（0≤t＜4）}\\{-14{t}^{2}+98t（4≤t≤7）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是理清图象的含义即会识图．通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．