Question

16．如图，已知△OAB和△OQP在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4），P为从O点出发，以每秒2个单位长的速度沿x轴向点B作匀速运动的动点，且PQ∥AB，PQ交x轴于点Q，∠AOB的平分线交AB于C，设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标；
（2）若将△OQP沿直线OC翻折，P、Q关于OC的对称点分别是M、N，直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）在（2）的情况下，设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式；S是否有最大值？若有，直接写出S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点C的坐标；
（2）利用相似三角形的性质，得出OP与OQ的关系，求得M、N的坐标；
（3）所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．答图2-1，答图2-2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．

解答 解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x，

∵CE∥x轴，
∴$\frac{BE}{OB}=\frac{CE}{OA}$，即$\frac{4-x}{4}=\frac{x}{2}$，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴C点坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（2）∵PQ∥AB，
∴$\frac{OP}{OB}=\frac{OQ}{OA}$，即$\frac{OP}{4}=\frac{OQ}{2}$，
∴OP=2OQ，
∵P（0，2t），
∴Q（t，0），
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）；
（3）当0＜t≤1时，如答图2-1所示，

点M在线段OA上，重叠部分面积为S_△CMN，
S_△CMN=S_{四边形CMON}-S_△OMN
=（S_△COM+S_△CON）-S_△OMN
=（$\frac{1}{2}$•2t×$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{2}$•t×$\frac{4}{3}$）-$\frac{1}{2}$•2t•t
=-t²+2t；
当1＜t＜2时，如答图2-2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S_△CDN，
设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2tk+b=0}\\{b=t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=t}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y=-2x+4，
联立y=-$\frac{1}{2}$x+t与y=-2x+4，求得点D的横坐标为$\frac{8-2t}{3}$，
S_△CDN=S_△BDN-S_△BCN
=$\frac{1}{2}$（4-t）•$\frac{8-2t}{3}$-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$t²-2t+$\frac{8}{3}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+2t（0＜t≤1）}\\{\frac{1}{3}{t}^{2}-2t+\frac{8}{3}（1＜t＜2）}\end{array}\right.$，
画出函数图象，如答图2-3所示：

观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．

点评 本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（3）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．