Question

14．在平面直角坐标系中，对于任意一点P（x，y），我们做以下规定：d（P）=|x|+|y|，称d（P）为点P的坐标距离．
（1）已知：点P（3，-4），求点P的坐标距离d（P）的值．
（2）如图，四边形OABC为正方形，且点A、B在第一象限，点C在第四象限．
①求证：d（A）=d（C）．
②若OC=2，且满足d（A）+d（C）=d（B）+2，求点B坐标．

Answer 1

分析 （1）根据d（P）=|x|+|y|，即可求得点P的坐标距离d（A）；
（2）①证明：如图1，过点A作AE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，则∠CFO=∠OEA=90°，设A（b，a），C（n，m），则|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=1，求得$\frac{CF+OF}{OE+AE}$=1，于是得到$\frac{|n|+|m|}{|a|+|b|}$=1，即可得到结论；
②如图1所示，过点B作BG⊥CF，交FC的延长线于G，交x轴于H，则GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，根据余角的性质得到∠BCG=∠COF，根据全等三角形的性质得到OE=BG，AE=CG，由图可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，根据已知条件得到OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，求得OF=1，解直角三角形得到CF=$\sqrt{3}$，由于$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=1，求得BG=$\sqrt{3}$，CG=1，于是得到结论．

解答 解：（1）∵点P（3，-4），
∴点A的坐标距离d（P）=|3|+|-4|=3+4=7；

（2）①证明：如图1，过点A作AE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，则∠CFO=∠OEA=90°，
设A（b，a），C（n，m），则|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，
∵在正方形ABCO中，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠COF=∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=1，
∴$\frac{CF+OF}{OE+AE}$=1，即$\frac{|n|+|m|}{|a|+|b|}$=1，
即|a|+|b|=|m|+|n|，
∴d（A）=d（C）；

②如图1所示，过点B作BG⊥CF，交FC的延长线于G，交x轴于H，则GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，
∵∠BCO=90°=∠CFO，
∴∠BCG+∠FCO=∠COF+∠FCO=90°，
∴∠BCG=∠COF，
∵∠COF=∠OAE，
∴∠BCG=∠OAE，
∵四边形ABCO是正方形，
∴CB=AO，
在△BCG和△OAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCG=∠OAE}\\{∠G=∠AEO}\\{BC=AO}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△OAE（AAS），
∴OE=BG，AE=CG，
由图可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，
∵d（A）+d（C）=d（B）+2，
∴OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，
又∵BH=BG-GH=OE-OF，GF=CG+CF=AE+CF，
∴OE+AE+OF+CF=（OE-OF）+（AE+CF）+2，
∴即OF=2-OF，
∴OF=1，
∵在Rt△COF中，CO=2，
∴CF=$\sqrt{3}$，
又∵$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{OE}$=$\frac{1}{AE}$=1，即OE=$\sqrt{3}$，AE=1，
∴BG=$\sqrt{3}$，CG=1，
∴FG=CG+CF=1+$\sqrt{3}$=OH，BH=BG-OF=$\sqrt{3}$-1，
∴B（1+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-1）．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质的综合应用，解题时注意：坐标平面内点到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．