Question

已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度.

（1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°﹣∠BEA．
又∵∠BAE=90°﹣∠BEA，
∴?∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴．
∵BE：EC=1：3   BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD==8．
在Rt△AED中，由勾股定理得AD==2．
（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
证明：在Rt△ABE中，
∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°﹣∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°﹣∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于点C，∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，于是在Rt△ABE和Rt△ECD中，∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．
（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：
AB﹣CD=BC（AB＞CD）或CD﹣AB=BC（AB＜CD）．