Question

已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．
（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；
（2）连结CA，CB，求△ABC的面积；
（3）点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．
①求线段PD的最大值，并求出此时P点的坐标．
②是否存在点P，使S_△PAB=

5

4

S_△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，将B（0，3）代入，即可求出抛物线的解析式；再将y=0代入，求出x的值，得到A点坐标，然后根据勾股定理即可求出线段AB的长度；
（2）过点C作y轴的平行线，交AB于点E，将x=1代入直线AB的解析式求出E点纵坐标，再求出CE的长，根据三角形面积公式可知△ABC的面积=

1

2

CE•OA；
（3）设P点横坐标为m，用含m的代数式分别表示P、D的坐标．
①先由PD=y_P-y_D，将PD的长表示为m的二次函数，再根据二次函数的性质，即可求出PD的最大值及此时P点的坐标；
②由S_△PAB=

1

2

PD•OA=-

3

2

m²+

9

2

m，根据S_△PAB=

5

4

S_△CAB，列出方程-

3

2

m²+

9

2

m=

15

4

，整理得2m²-6m+5=0，由于判别式△＜0，所以m无实数根，从而得出不存在点P，能够使S_△PAB=

5

4

S_△CAB．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为C（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将B（0，3）代入，得a+4=3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4或y=-x²+2x+3；
当y=0时，-（x-1）²+4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A点坐标为（3，0）．
在△OAB中，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=3，
∴AB=

OA2+OB2

=3

2

；

（2）如图，过点C作y轴的平行线，交AB于点E．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，3），
∴

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E点坐标为（1，2），
∴CE=4-2=2，
∴△ABC的面积=

1

2

CE•OA=

1

2

×2×3=3；

（3）设P点横坐标为m，则P（m，-m²+2m+3），D（m，-m+3），0＜m＜3．
①∵PD=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m=-（m-

3

2

）²+

9

4

，
∴当m=

3

2

时，PD有最大值

9

4

，此时P点的坐标为（

3

2

，

15

4

）；

②∵S_△PAB=

1

2

PD•OA=

1

2

（-m²+3m）×3=-

3

2

m²+

9

2

m，

5

4

S_△CAB=

5

4

×3=

15

4

，
∴当S_△PAB=

5

4

S_△CAB时，-

3

2

m²+

9

2

m=

15

4

，
整理，得2m²-6m+5=0，
∵△=36-4×2×5=-4＜0，
∴m无实数根，即不存在点P，能够使S_△PAB=

5

4

S_△CAB．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，二次函数的性质，线段的长度、三角形的面积求法．综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．