Question

如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP＝x，△ADP和矩形重叠部分(阴影)的面积为y．

(1)如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；

(2)如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？

(3)阅读材料：

已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即(α≠45°)．

根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．(提示：在图丙中可设∠DAP＝α)

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)由题意可得∠DAC＝∠AC＝∠ACE，∴AE＝CE．

　　设AE＝CE＝m，则BE＝10－m．

　　在Rt△ABE中，得m²＝8²＋(10－m)²，m＝8.2．

　　∴重叠部分的面积y＝·CE·AB＝×8.2×8＝32.8(平方单位)．

　　另法过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO．

　　(2)由题意可得△DAP≌△AP，

　　∴A＝AD＝10，P＝DP＝x．

　　在Rt△AB中，∵AB＝8，∴B＝＝6，于是C＝4．

　　在Rt△PC中，由x²＝4²＋(8－x)²，得x＝5．

　　此时y＝·AD·DP＝×10×5＝25(平方单位)．

　　表明当DP＝5时，点D恰好落在BC边上，这时y＝25．

　　另法由Rt△AB∽Rt△PC可求得DP．

　　(3)由(2)知，DP＝5是甲、丙两种情形的分界点．

　　当0≤x≤5时，由图甲知y＝＝S_△ADP＝·AD·DP＝5x．

　　当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP＝α，则∠AEB＝2α，∠FPC＝2α．

　　在Rt△ADP中，得tanα＝．

　　根据阅读材料，得tan2α＝．

　　在Rt△ABE中，有BE＝AB／tan2α＝＝．

　　同理，在Rt△PCF中，有CF＝(8－x)tan2α＝．

　　∴△ABE的面积

　　S_△ABE＝·AB·BE＝×8×＝．

　　△PCF的面积

　　S_△PCF＝·PC·CF＝(8－x)×＝．

　　而直角梯形ABCP的面积为

　　S_梯形ABCP＝(PC＋AB)×BC＝(8－x＋8)×10＝80－5x．

　　故重叠部分的面积y＝S_梯形ABCP－S_△ABE－S_△PCF＝80－5x－－．

　　经验证，当x＝8时，y＝32.8适合上式．

　　综上所述，当0≤x≤5时，y＝5x；当5＜x≤8时，y＝80－5x－－．