Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，点O是EF中点，连结BO井延长到G，且GO＝BO，连接EG，FG

（1）试求四边形EBFG的形状，说明理由；

（2）求证:BD⊥BG

（3）当AB＝BE＝1时，求EF的长，

Answer 1

【答案】(1) 四边形EBFG是矩形;（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据对角线互相平分的四边形平行四边形可得四边形EBFG是平行四边形，再由∠CBF=90°，即可判断EBFG是矩形.

（2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知BD=CD,OB=OE,即可得∠C=∠CBD，∠OEB=∠OBE，由∠FDC=90°即可得∠DBG=90°；

（3）连接AE，由AB＝BE＝1勾股定理易求AE=，结合已知易证△ABC≌△EBF，得BF=BC=1+再由勾股定理即可求出EF=.

解：（1）结论：四边形EBFG是矩形.

理由：∵OE=OF，OB=OG，

∴四边形EBFG是平行四边形，

∵∠ABC＝90°即∠CBF=90°，

∴EBFG是矩形.

（2）∵CD=AD，∠ABC＝90°，

∴BD=CD

∴∠C=∠CBD，

同理可得：∠OEB=∠OBE，

∵DF垂直平分AC，即∠EDC=90°，

∴∠C+∠DEC=90°，

∵∠DEC=∠OEB，

∴∠CBD+∠OBE=90°，

∴BD⊥BG.

（3）如图：连接AE，

在Rt△ABE中，AB=BE=1，

∴AE=，

∵DF是AC垂直平分线，

∴AE=CE，

∴BC=1+

∵∠CDE=∠CBF=90°，

∴∠C=∠BFE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（AAS）

∴BF=BC，

在Rt△BEF中，BE=1，BF=1+，

∴EF=.