Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

  

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；

（3）在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为           ．

 

Answer 1

【答案】

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根据以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F可得∠ABF＝90°，从而可以证得结论；（2），；（3）＜r＜

【解析】

试题分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根据以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F可得∠ABF＝90°，从而可以证得结论；

（2）连接DO，EO，由点D，点E分别是弧AB的三等分点可得∠AOD＝60°，即可证得△AOD是等边三角形  ，则∠OAD＝60°，AB=10，再根据正切函数的定义及三角形的面积公式求解即可；

（3）连接OC，由圆心距OC＝，圆O半径r=5即可求得结果．

（1）∵∠CBF＝∠CFB

∴CB＝CF   

又∵AC＝CF 

∴CB＝AC＝CF

∴以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F  

∴∠ABF＝90°

∴直线BF是⊙O的切线；

（2）连接DO，EO

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点 

∴∠AOD＝60°

又∵OA＝OD 

∴△AOD是等边三角形  

∴∠OAD＝60°，AB=10

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，AB=10

∴BF＝

；

（3）连接OC

∵圆心距OC＝，圆O半径r=5

∴＜r＜．

考点：圆的综合题

点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.