Question

矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C，D重合），连接AP交半圆于F，连接BP，BF，如图1．
（1）当

AF

=2

BF

时，图1中有几对全等的三角形？将其表示出来；
（2）P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图2中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先得出∠FAB=30°，BF=

1

2

AB=2，进而利用全等三角形的判定，得出△ABF≌△PAD，以及Rt△BPF≌Rt△BPC，
（2）根据①当AB=PB时，△AFB≌△PFB，以及②当AP=PB时，△ADP≌△BCP得出答案．

解答：解：（1）当

AF

=2

BF

时，图中有两对全等的三角形，分别是△ABF≌△PAD，△BPF≌△BPC；  
∵

AF

=2

BF

，
∴∠FAB=30°，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF=

1

2

AB=2，
∵∠DPA=∠PAB，∠ADP=∠AFB，
AD=BF=2，
∴△ABF≌△PAD，
∵BC=BF=2，∠C=∠BFP，PB=PB，
∴Rt△BPF≌Rt△BPC．

（2）还有两次能构成全等三角形的情况．
每次构成全等三角形时的图形如图．
①当AB=PB时，△AFB≌△PFB，
②当AP=PB时，△ADP≌△BCP．

点评：此题主要考查了切线的性质以及矩形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知熟练地应用全等三角形的判定定理是解决问题的关键．