Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S_△MAB=S_{平行四边形ABDC}，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
请画出图形，直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，
（2）利用平行四边形的面积公式和三角形的面积公式列式计算即可得；
（3）分三种情况，根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE即可得出结论．

解答 解：（1）∵将A（-1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴C（0，2），D（4，2）；

（2）∵AB=4，CO=2，
∴S_{平行四边形ABDC}=AB•CO=4×2=8，
设M坐标为（0，m），
∴$\frac{1}{2}$×4×|m|=8，解得m=±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，-4）；

（3）①当点P在BD上，如图1，
由平移的性质得，AB∥CD，
过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，


②当点P在线段BD的延长线上时，如图2，
由平移的性质得，AB∥CD，
过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠OPE-∠CPE=∠BOP-∠DCP，



③当点P在线段DB的延长线上时，如图3，
同（2）的方法得出∠CPO=∠DCP-∠BOP．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平移的平移的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，平行四边形的面积计算方法，解本题的关键是作出图形，是一道比较简单的中考常考题．