Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）求证：△ABG∽△BFE；
（2）当四边形EFCD为平行四边形时，若设AD=a，AB=b，BC=c
①求a、b、c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，则∠C=

 

度（无需书写过程）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
（2）①根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
②把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c²-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE；

（2）解：①∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴

AD

DB

=

DB

CB

，
即

a

a2+b2

=

a2+b2

c

，
∴a²+b²=ac；

②解关于a的一元二次方程a²-ac+2²=0，得：
a₁=

c+ c2-16

2

，a₂=

c- c2-16

2

由题意，△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；

点评：本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．