Question

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=2，点D、E是斜边BC的三等分点，点F是AB的中点，则AD+EF=

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：过点E作EG⊥AB于G，利用勾股定理列式求出BC，再根据三等分点的定义求出BE，然后求出EG=BG=

2

3

，再求出FG，再次利用勾股定理列式求出EF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AD=2EF，然后相加即可得解．

解答：解：如图，过点E作EG⊥AB于G，
∵∠CAB=90°，AB=AC=2，
∴BC=

AB2+AC2

=

22+22

=2

2

，
∵点D、E是斜边BC的三等分点，
∴BE=

1

3

BC=

2 2

3

，
∴EG=BG=

2 2

3

×

2

2

=

2

3

，
∵点F是AB的中点，
∴BF=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴FG=1-

2

3

=

1

3

，
在Rt△EFG中，EF=

EG2+FG2

=

( 2 3 )2+( 1 3 )2

=

5

3

，
∵点D、E是斜边BC的三等分点，点F是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴AD=2EF=

2 5

3

，
∴AD+EF=

2 5

3

+

5

3

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造成直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．