【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣2经过点A(4,0)、B(1,0)两点,点C为抛物线与y轴的交点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是x轴上方抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,问:是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点D,过点D作x轴的垂线,交AC于点E,是否存在这样的点D,使DE最长,若存在,求出点D的坐标,以及此时DE的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x﹣2;(2)存在,P(2,1);(3)存在,点D的坐标(2,1),此时DE的长为2.
【解析】
(1)用抛物线交点式表达式确定c的值,进而求解;
(2)tan∠OAC=,以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似,则tan∠PAM=2或,即可求解;
(3)确定DE的函数表达式,即可求解.
(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)=a(x﹣1)(x﹣4)=a(x2﹣5x+4)=ax2+bx﹣2,
故4a=﹣2,解得:a=﹣,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+﹣2;
(2)存在,理由:
设点P(x,﹣x2+﹣2),则点M(x,0),
则PM=﹣x2+﹣2,AM=4﹣x,
∵tan∠OAC=,
∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似,
故tan∠PAM=或2,故=2或,
解得:x=2或4(舍去)或5(舍去),
故x=2,
经检验x=2是方程的解,
故P(2,1);
(3)设直线AC的表达式为:y=kx+t,则,解得,
故直线AC的表达式为:y=x﹣2,
设点D(x,﹣x2+x﹣2),则点E(x,x﹣2),
DE=(﹣x2+x﹣2)﹣(x﹣2)=﹣x2+2x,
∵<0,故DE有最大值,当x=2时,DE的最大值为2,
此时点D(2,1);
故点D的坐标(2,1),此时DE的长为2.
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【题目】疫情期间,口罩供不应求.某口罩企业为指导生产,在二月份期间对甲乙丙丁四条生产线日产量进行调研,根据调研数据,绘制出如下两幅不完整的统计图.观察统计图,请解答以下问题:
(1)求二月份该企业口罩单日产量(二月份计天).
(2)求乙条生产线单日产量是多少,并补全频数分布直方图.
(3)为满足市场需求,该公司改进生产技术,使得口罩产量在二月的基础上逐月提高,已知月份口罩产量为万只,若三月份和四月份口罩月产量平均增长率相同,求每月的平均增长率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线BC与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点D,点B,C是反比列函数y=(x>0)图象上的点,OB⊥BC于点B,∠BOD=60°.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)若△AOB的面积为S1,△BOC的面积为S2,△DOC的面积为S3,直接写出S1,S2,S3的一个数量关系式:
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【题目】图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重合),点O是夹子转轴位置,OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,OE=OF=1cm,AC=BD=6cm, CE=DF, CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动.
(1)当E,F两点的距离最大值时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是_____ cm.
(2)当夹子的开口最大(点C与点D重合)时,A,B两点的距离为_____cm.
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【题目】哈市红十字预计在2019年儿童节前为郊区某小学发放学习用品,联系某工厂加工学习用品.机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件,若加工1800件这样的产品,机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍.
(1)求手工每小时加工产品的数量;
(2)经过调查该小学的小学生的总数不超过1332名,每名小学生分发两个学习用品,工厂领导打算在两天内(48小时)完成任务,打算以机器加工为主,同时人工也参与加工(人工与机器加工不能同时进行),为了保证按时完成加工任务,人工至少要加工多少小时?
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【题目】为了弘扬荆州优秀传统文化,某中学举办了荆州文化知识大赛,其规则是:每位参赛选手回答100道选择题,答对一题得1分,不答或错答不得分、不扣分,赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计,整理并绘制成如下图表:
组别 | 分数段 | 频数(人) | 频率 |
1 | 50≤x<60 | 30 | 0.1 |
2 | 60≤x<70 | 45 | 0.15 |
3 | 70≤x<80 | 60 | n |
4 | 80≤x<90 | m | 0.4 |
5 | 90≤x<100 | 45 | 0.15 |
请根据以图表信息,解答下列问题:
(1)表中m= ,n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)全体参赛选手成绩的中位数落在第几组;
(4)若得分在80分以上(含80分)的选手可获奖,记者从所有参赛选手中随机采访1人,求这名选手恰好是获奖者的概率.
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【题目】抗击“新冠疫情”期间,某种消毒液A市需要6吨,B市需要8吨,正好M市储备有10吨,N市储备有4吨,预防“新冠疫情”领导小组决定将这14吨消毒液调往A市和B市,消毒液每吨的运费价格如下表。设从M市调运x吨到A市.
(1)求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式;
(2)求出总运费最低的调运方案,最低运费的多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线与x轴交于点C.
(1)求点B的坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段围成的区域(不含边界)为G.
①当时,结合函数图象,求区域G内整点的个数;
②若区域G内恰有2个整点,直接写出k的取值范围.
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