Question

4．如图所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O分别交x轴、y轴于A、C和B、D，点M（4，3）为⊙O上一点，过M的直线y=kx+b（k＜0）交x轴于点P．
（1）如图1所示，⊙O的半径为5，∠AMB的度数为135°；
（2）如图2所示若直线y=kx+b与⊙O的另一个交点N在弧BM上（不和点B、M重合），
①设△OPM的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求S的取值范围；
②当点N恰好为弧BM的中点时，求直线y=kx+b的函数关系式；
（3）判断直线y=kx+b上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形？若存在，试求满足条件的点Q的个数，并求对应的k的值或取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OM，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，只需运用勾股定理就可求出圆的半径，只需利用弧的度数与所对圆心角的度数及所对圆周角的度数，就可求出∠AMB；
（2）①过点M作MH⊥x轴于H，如图2，只需用k的代数式表示OP即可，只需求出直线PM与x轴的交点即可，由条件“直线y=kx+b与⊙O的另一个交点N在弧BM上（不和点B、M重合）”可得到k的范围，从而可求出S的范围；②连接ON交BM于E，过点E作EF⊥y轴于F，过点N作NG⊥y轴于G，如图3，运用中点坐标公式可求出点E的坐标，易证△OEF∽△ONG，根据相似三角形的性质可求出点N的坐标，就可求出直线PM的关系式；
（3）当点P与点A重合时，可求出此时k=-3，易知当∠ACQ=90°及∠AQC=90°时，满足要求的点Q各1个，共2个；当点P与点A不重合时，此时k≠-3，易知当∠ACQ=90°及∠CAQ=90°时，满足要求的点Q各1个，当∠AQC=90°时，点Q在⊙O上，当PM与⊙O相切时，⊙O与直线PM只有1个交点，此时点Q与点M重合，易求出此时点P的坐标，即可得到k=-$\frac{4}{3}$，当PM与⊙O不相切时，⊙O与直线PM有2个交点，故点Q有2个，此时k＜0，且k≠-$\frac{4}{3}$．问题得以解决．

解答 解：（1）连接OM，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，

则有OH=4，MH=3M
∴OM=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴圆的半径为5．
∵∠AOB=90°，∴$\widehat{AB}$的度数为90°，
∴$\widehat{ACB}$的度数为270°，
∴∠AMB=135°．
故答案分别为5，135°；

（2）①过点M作MH⊥x轴于H，如图2，
则有MH=3．
∵点M（4，3）在直线y=kx+b上，
∴3=4k+b，
∴b=3-4k，
∴y=kx+3-4k．
当y=0时，0=kx+3-4k，
∴x=$\frac{4k-3}{k}$，
∴OP=$\frac{4k-3}{k}$，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•MH=$\frac{1}{2}$•$\frac{4k-3}{k}$•3=6-$\frac{9}{2k}$．
∵直线y=kx+b与⊙O的另一个交点N在弧BM上（不和点B、M重合），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{3-4k＞5}\end{array}\right.$
解得k＜-$\frac{1}{2}$，
∴-2k＞1，
∴0＜-$\frac{1}{2k}$＜1，
∴0＜-$\frac{9}{2k}$＜9，
∴6＜6-$\frac{9}{2k}$＜15，
∴6＜S＜15；
②连接ON交BM于E，过点E作EF⊥y轴于F，过点N作NG⊥y轴于G，如图3，

则有EF∥NG，∠BON=∠MON．
∵OB=OM，∴BE=EM．
∵B（0，5），M（4，3），
∴E（$\frac{0+4}{2}$，$\frac{5+3}{2}$）即（2，4），
∴EF=2，OF=4，
∴OE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵EF∥NG，
∴△OEF∽△ONG，
∴$\frac{EF}{NG}$=$\frac{OF}{OG}$=$\frac{OE}{ON}$，
∴$\frac{2}{NG}$=$\frac{4}{OG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴NG=$\sqrt{5}$，OG=2$\sqrt{5}$，
∴点N的坐标为（$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．
∵点E在直线y=kx+3-4k上，
∴2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$k+3-4k，
解得k=$\frac{2-5\sqrt{5}}{11}$，
∴直线PM的函数关系式为y=$\frac{2-5\sqrt{5}}{11}$x+$\frac{25+20\sqrt{5}}{11}$；

（3）①当点P与点A重合时，P的坐标为（5，0），
则有0=5k+3-4k，解得k=-3．
Ⅰ．若∠ACQ=90°，则过点C垂直于AC的直线与PM的交点就是点Q，有1个；
Ⅱ．若∠CAQ=90°，则过点A垂直于AC的直线与PM的交点就是点Q，与点A重合，不存在；
Ⅲ．若∠AQC=90°，则点Q在⊙O上，此时点Q与点M重合（与点A重合时，△ACQ不存在），有1个；
∴当k=-3时，满足△ACQ为直角三角形的点Q有2个；
②当点P与点A不重合时，则有k≠-3．
Ⅰ．若∠ACQ=90°，则过点C垂直于AC的直线与PM的交点就是点Q，有1个；
Ⅱ．若∠CAQ=90°，则过点A垂直于AC的直线与PM的交点就是点Q，有1个；
Ⅲ．若∠AQC=90°，则点Q在⊙O上，
（a）当PM与⊙O相切时，⊙O与直线PM只有1个交点，此时点Q与点M重合，∠OMP=90°．
∵∠MOH=∠POM，∠OHM=∠OMP=90°，∴△OHM∽△OMP，
∴$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OH}{OM}$，∴$\frac{5}{OP}$=$\frac{4}{5}$，∴OP=$\frac{25}{4}$，即P（$\frac{25}{4}$，0），
∴0=$\frac{25}{4}$k+3-4k，解得k=-$\frac{4}{3}$．
（b）当PM与⊙O不相切时，⊙O与直线PM有2个交点，故点Q有2个，此时k＜0，且k≠-$\frac{4}{3}$．
综上所述：当k=-3时，满足△ACQ为直角三角形的点Q有2个，
当k=-$\frac{4}{3}$时，满足△ACQ为直角三角形的点Q有3个，
当k＜0，且k≠-$\frac{4}{3}$，k≠-3时，满足△ACQ为直角三角形的点Q有4个．

点评 本题主要考查了圆周角定理、直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、直线与x轴的交点、解不等式组、相似三角形的判定与性质，中点坐标公式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，求出点E的坐标，进而求出点N的坐标是解决第（2）②小题的关键，正确进行分类是解决（3）小题的关键．