Question

（2013•南充模拟）已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0．
（1）求证：这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若二实根x₁，x₂满足(x1-x2)2=9，求p的值．

Answer 1

分析：（1）先把方程整理为一般式，再计算出△=1+4p²，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到得x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，由已知条件变形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，即25-4（6-p²）=9，然后解p的方程即可．

解答：（1）证明：方程整理为x²-5x+6-p²=0，
△=（-5）²-4×1×（6-p²）
=1+4p²，
∵4p²≥0，
∴△＞0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
∵(x1-x2)2=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，即25-4（6-p²）=9，
∴p=±2

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．