Question

如图1，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AE⊥BF于G．

（1）AE与BF相等吗？请说明理由；
（2）运用图形的平移、旋转方法，分析说明△ABE和△BCF可以通过怎样的平移和旋转而相互得到如图1，点H、E、F、L在正方形ABCD的边上，且LE⊥HF于G，图2通过怎样的方法可以得到图1，从而分析说明LE与HF相等．

Answer 1

求证：（1）AE=BF
证明：在Rt△ABE中，∠BAE+∠BEA=90°，
∵AE⊥BF，
∴△BGE是直角三角形，
∴∠FBE+∠BEA=90°，
∴∠FBE=∠BAE，
又∵BC=AC，
∴Rt△FBC≌Rt△EAB，
∴AE=BF，
∴AE与BF相等．

（2）答：△ABE先向右平移至点B与点C重合，再以点B为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△BCF；△BCF向左平移至点C与点B重合后，再以BF为轴顺时针旋转90°后得到△ABE．
线段LE向左平移至点L与点A重合，线段HF向下平移点H与点B重合，按这种方法就可以得到上图．
LE与HF平移后，就是图中AE和BF，由（1）证明得AE=BF，所以LE=HF．
分析：（1）先求证△ABE≌△BCF，再证明AE=BF；
（2）△ABE和△BCF在旋转时，确定一个三角形旋转后的位置，除需要此三角形原来的位置外，还需要的条件是旋转轴，旋转方向，旋转角．
点评：（1）解答本题的难点是△ABE≌△BCF，所以，在突破难点时，充分并合理的利用正方形的性质（四个角都是直角，四条边都相等）来证明△ABE≌△BCF；
（2）本题考查图形的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．