Question

1．如果一个四边形的各个顶点均在三角形的边上，那么称这个四边形是三角形的内接四边形，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，则△ABC的内接正方形的边长为$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 分两种情形①设DE=x，则EB=x，则AE=6-x，然后证明△AED∽△ABC，得到$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，从而可解得x的值．②当四边形EFGH是内接正方形时，作BM⊥AC于M，交GH于N．时正方形的边长为x．由HG∥AC，可得△HGB∽△ACB，推出$\frac{GH}{AC}$=$\frac{BN}{BM}$，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：①如图所示：

设DE=x，则EB=x，则AE=6-x，
∵四边形DEBF是正方形，
∴ED∥BF．
∴△AED∽△ABC．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}=\frac{x}{8}$，
解得：x=$\frac{24}{7}$．
②当四边形EFGH是内接正方形时，作BM⊥AC于M，交GH于N．时正方形的边长为x．

∵HG∥AC，
∴△HGB∽△ACB，
∴$\frac{GH}{AC}$=$\frac{BN}{BM}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$
∴x=$\frac{120}{37}$，
综上所述，正方形的边长为$\frac{24}{7}$或$\frac{120}{37}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定以及正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．