解:(1)∵点0为AC的中点,AC=6,
∴OA=3,
∵OE⊥AB,
∴在Rt△AOE中,AE=

=

=


,
∵OE⊥AF,
∴AF=2AE,
∴AF=2×


=3

;
(2)∵AC是⊙O的直径,
∴∠AFC=90°,
∴CF=

=3,
又∵AC=AB=6,
∴FB=AB-AE=6-3

,
在Rt△CFB中,tan∠FCB=

,
∴tan∠FCB=

=2-

.
分析:(1)由AB=AC=6,点0为AC的中点,OE⊥AB于点E,OE=

,可求得AE的长,又由勾股定理,即可求得AE的长,然后由垂径定理,求得AF的长;
(2)由AC是直径,可求得∠AFC=90°,继而可求得FB的长,然后由三角函数的定义,求得答案.
点评:此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.