Question

已知，如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=4

3

，D为ON上一点，OD=8

3

，C为A由任一点，B是OD上任意一点．求：折线ABCD的长度的最小值．

Answer 1

分析：作A关于ON的对称点A′，连接A′B，作D关于OM的对称点D′，连接CD′，连接OA′、OD′、A′D′，由折线ABCD长=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，然后转化为求A′D′的长度，结合勾股定理及轴对称的性质即可解答．

解答：解：作A关于ON的对称点A′，
连接A'B，作D关于OM的对称点D′，
连接CD′，连接OA′、OD′、A′D′（如图）
∴AB=A′B，CD=CD′，
由折线ABCD长=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，
∴折线ABCD长的最小值是线段A′D′的长，
∵∠NOA′=∠MON=20°，∠D′OM=∠MON=20°，
∴∠D′OA′=60°，
又∵OA′=OA=4

3

，OD′=OD=8

3

，
∴∠OA′D′=90°，
∴A'D'=

OD′2-OA′2

=

(8 3 )2-(4 3 )2

=12．
∴折线ABCD长度的最小值为12．

点评：本题考查轴对称的性质及最短路径问题，难度较大，关键是根据轴对称的性质将所求的线段和转化为一条线段上去．