Question

【题目】在△ABC中，点E、F在边BC上，点D在边AC上，连接ED、DF，＝m，∠A＝∠EDF＝120°

（1）如图1，点E、B重合，m＝1时

①若BD平分∠ABC，求证：CD2＝CFCB；

②若，则＝　 　；

（2）如图2，点E、B不重合．若BE＝CF，＝m，，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②或；（2）m＝．

【解析】

（1）①由三角形的外角性质和角平分线性质可得∠ABD＝∠CDF＝∠DBF，可证△CDF∽△CBD，可得，即可得结论；

②如图1，作辅助线，构建一线三等角，证明△ABD∽△HDF，得，即，设AD＝x，则DH＝11a﹣x，列方程解出可得x＝5a或6a，代入可得结论；

（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，先证明△ABC∽△DFE，得∠DEC＝∠C，所以DE＝DC，设未知数，表示EH和CH的长，根据平行线分线段成比例定理由：m＝代入可得结论．

（1）①∵，

∴AB＝AC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBF，

∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDF+∠CDF，且∠A＝∠BDF＝120°，

∴∠ABD＝∠CDF＝∠DBF，且∠C＝∠C，

∴△CDF∽△CBD，

∴，

∴CD2＝BCCF；

②如图1，过A作AG⊥BC于G，过F作FH⊥BC，交AC于H，

∵∠C＝30°，

∴CH＝2FH，

设FH＝2a，CH＝4a，则CF＝2a，

∵，

∴BC＝15a，

∵CG＝a，

∴AG＝a，AC＝15a，

∴AH＝11a，

∵∠BAD＝∠BDF＝∠DHF＝120°，

∴∠ADB+∠FDH＝∠ADB+∠ABD＝180°﹣120°＝60°，

∴∠ABD＝∠FDH，

∴△BD∽△HDF，

∴，即，

设AD＝x，则DH＝11a﹣x，

∴30a2＝x（11a﹣x），

x2﹣11ax+30a2＝0，

（x﹣5a）（x﹣6a）＝0，

x＝5a或6a，

∴或，

故答案为：或；

（2）如图2，过E作EH∥AB，交AC于H，过D作DM⊥EH于M，过F作FG∥ED，交AC于G，

∵BE＝CF，，

∴，

∵FG∥ED，

∴，

∴设CG＝3a，DG＝7a，

∵m，∠A＝∠EDF＝120°，

∴△ABC∽△DFE，

∴∠DEC＝∠C，

∴DE＝DC＝10a，

∵FG∥DE，

∴∠GFC＝∠DEF＝∠C，

∴FG＝CG＝3a，

同理由（1）得：△EHD∽△DFG，

∴，即，

DH＝，

Rt△DHM中，∠DHM＝60°，

∴∠HDM＝30°，

∴HM＝DH＝，DM＝a，

∴EM＝，

∴EH＝﹣＝，

∴m＝．