Question

如果关于x的方程[

x

2

]+[

2x

3

]+[

3x

5

]=

k

7

x有正整数解，那么正整数k的所有可能取值之和为

 

．

Answer 1

考点：取整计算

专题：

分析：首先根据题意得出7|k或7|x，进而分别分析得出x的取值范围，利用x，y的关系得出k的值．

解答：解：由

k

7

x是整数知，7|k或7|x．
若为前者，由于0＜[

x

2

]+[

2x

3

]+[

3x

5

]≤

x

2

+

2x

3

+

3x

5

=

53x

30

＜2x，
故知k只能为7．
此时，x=[

x

2

]+[

2x

3

]+[

3x

5

]＞

x

2

-1+

2x

3

-1+

3x

5

-1=

53x

30

-3，
解得：x＜

90

23

，因此x=1，2，3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设x=7y，其中y是正整数．
则11y≤ky=[

7y

2

]+[

14y

3

]+[

21y

5

]=11y+[

y

2

]+[

2y

3

]+[

y

5

]≤11y+

y

2

+

2y

3

+

y

5

＜13y，
故k=11（y=1时取到）或k=12（y=2时取到）．
因此所求答案为11+12=23．
故答案为：23．

点评：此题主要考查了取整计算，利用分类讨论得出k的值是解题关键．