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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB2=∠PCB.

【小题1】求证:PC是⊙O的切线
【小题2】求证:BC=AB;
【小题3】点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN ·MC的值.

【小题1】解:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO

又∵∠COB=2∠A, ∴∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB.(1分)
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°(2分),
即OC⊥CP,
而OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线. (3分)
【小题2】∵AC=PC,∠A=∠P,
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P,(4分)
又∵∠COB=∠A+∠ACO, ∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠COB=∠CBO(5分), ∴BC=OC, ∴BC=AB(6分)
【小题3】8
(3)8解析:

(3)连接MA、MB
       点M是AB的中点,AM=BM,
∴∠ACM=∠BCM(7分)
而∠ACM=∠ABM, ∴∠BCM=∠ABM,而∠BMN=∠BMC
∴△MBN~△MCB,
∴MN·MC=BM.BM(8分)
又∵AB是⊙O的直径,AM=BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4,BM=(9分)
∴MN·MC=BM2=8(10分)
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3
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