Question

【题目】如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,

（1）求证：BM=CN

（2）若AB=9，AC=5.求AM长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）7；

【解析】

（1）连接BE、EC，由中垂线的性质就可以得出BE=CE，由EM⊥AB，EN⊥AC，AE平分∠BAC由角平分线的性质就可以得出EM=EN，在证明Rt△BME和Rt△CNE全等及可以得出结论．

（2）过点E作EM⊥AC的延长线于点M，连接BE、EC，利用角平分线的性质、垂直平分线的性质得到EM=EN，EB=EC，证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN，由AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，即AM=9-AM+5，即可解答．

（1）证明：连接BE、EC，
∵BD=DC，DE⊥BC

∵BE=EC．
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．
在Rt△BME和Rt△CNE中，
∵BE=EC，EM=EN

，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN．

（2）如图，过点E作EM⊥AC的延长线于点M，连接BE、EC，

由（1）可知Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN，
在RtAME和Rt△ANE中，
,
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL）
∴AM=AN，
∴AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，
即AM=9-AM+5
2AM=9+5
2AM=14
AM=7．