Question

3．如图，以△ABC的三边AB、BC、CA向三角形外侧作三个正方形ABDE、ACFG和BHKC，设O₁、O₂、O₃分别是这三个正方形对角形的交点，则BO₂与O₁O₃在数量以及位置方面的关系如何？

Answer 1

分析 结论：O₁O₃=BO₂，O₁O₃⊥BO₂．如图，延长BO₂，使得BO₂=O₂M，连接GC、GM、CM、BG、BE、BK、EK、EC，EC与BG交于点O，EK与BM交于点J．首先证明四边形BCMG是平行四边形，△EAC≌△BAG，再证明△ECK≌△BGM，推出EK=BM，∠CEK=∠GBM，由此即可证明．

解答 解：结论：O₁O₃=BO₂，O₁O₃⊥BO₂．
理由：如图，延长BO₂，使得BO₂=O₂M，连接GC、GM、CM、BG、BE、BK、EK、EC，EC与BG交于点O，EK与BM交于点J．

∵BO₂=O₂M，GO₂=CO₂，
∴四边形BCMG是平行四边形，
∴GM=BC=CK，∠BGM=∠BCM，
在△EAC和△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=AB}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG，
∴EC=BG，∠AEC=∠ABG，
∴∠EAB=∠EOB=90°，
∴EC⊥BG，
∵AH∥CM，
∴BG⊥CM，
∴∠ECM=∠EOG=90°，
∴∠DCM=∠BCK，
∴∠BCM=∠ECK=∠BGM，
在△ECK和△BGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=BG}\\{∠ECK=∠BGM}\\{CK=MG}\end{array}\right.$，
∴△ECK≌△BGM，
∴EK=BM，∠CEK=∠GBM，
∴∠EOB=∠EJB=90°，
∴EK⊥BM，
∵O₁O₃是△EBK的中位线，
∴EK∥O₁O₃，EK=2O₁O₃，
∴O₁O₃=BO₂，O₁O₃⊥BO₂．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，辅助线比较多，属于竞赛题目．