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如图,在⊙O 中,直径AB交弦ED于点G,EG=DG,⊙O的切线BC交DO的延长线于点C,F是DC与⊙O的交点,连结AF.

(1)求证:DE∥BC;

(2)若OD=1,CF=,求AF的长.

(1)证明略;(2)

【解析】

试题分析:(1)有切线的性质得到∠ABC = 90°,又AB平分弦DE得到∠A GE= 90°,最后根据平行线的判定即可;

(2)连接DB,AD.可以证出 △DGO∽△CBO,根据对应边成比例可以求出OG、DG;再证明△ADG∽△ADB求出AD,即可在△ADF中应用勾股定理求出AF.

试题解析:(1)证明:∵ BC为⊙O的切线,AB为直径, ∴ ∠ABC = 90°.

∵ AB平分弦DE, ∴ ∠A GE= 90°. ∴ DE∥BC.

(2)连接DB,AD.∵AB是⊙O的直径, ∴ ∠ADB = 90°.∵ DE∥ BC,

∴ △DGO∽△CBO ∴,

∵ OD = 1,CF=

∴OC=,∴∴OG=,

∴AG=. ∵∠ADB=∠AGD= 90°,

∴ △ADG∽△ADB,∴AD2=AG.AB, ∵AG=,AB=2.

∴AD=,又∵ DF为⊙O直径,∴∠FAD = 90°,

∵DF=2,∴AF=.

考点:平行线的判定,相似三角形的性质,圆周角和切线的性质.

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