Question

如图，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于E，交

BC

于D，点A是优弧上的动点（不与B，C重合），BC=4

3

，ED=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）连接OB，利用垂径定理易得BE的长，在Rt△OBE中，设半径为R，利用勾股定理得到关于R的方程，解方程即可求得半径长；
（2）当点A最高即AD为直径时阴影部分面积的最大值，利用OB=4，OE=4-2=2得∠OBE=30°，则∠BOD=60°，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式可计算出等边△OBD的面积、扇形OBD的面积，则可得到弓形BD的面积，然后利用阴影部分面积的最大值=△ABD的面积+弓形BD的面积计算即可．

解答：解：（1）连OB，如图，
∵OD⊥BC，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×4

3

=2

3

，
设⊙O的半径为R，则OE=R-DE=R-2，
在Rt△OEB中，OB²=OE²+BE²，即R²=（2

3

）²+（R-2）²，
∴R=4；
（2）如图∵弓形BD的面积不变，当△ABD的面积最大时，阴影部分的面积最大，
即点AD在线段BD的中垂线上时阴影部分面积的最大值，
∵OB=4，OE=4-2=2，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOD=60°，
可求出此时BD边上的高为：4+2

3

，
∴S_ABD=

1

2

×4×（4+2

3

）=8+4

3

，
∴等边△OBD的面积=

3

4

×4²=4

3

，
∵扇形OBD的面积=

60•π•42

360

=

8

3

π，
∴弓形BD的面积=

8

3

π-4

3

，
∴阴影部分面积的最大值=△ABD的面积+弓形BD的面积=8+4

3

-4

3

+

8

3

π=8+

8

3

π．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及扇形的面积公式．