Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
（1）求证：AB=AF；
（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF．

（2）四边形AGCD是菱形．
证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，
∴2AB=AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AF=AF+FC，
∴AF=CF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠FCG，
在△DAF和△GCF中
，
∴△DAF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，
∵AD∥CG，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∵DG⊥AC，
∴平行四边形AGCD是菱形．
分析：（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案．
点评：本题考查了直角梯形，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．