Question

如图，点E是正方形ABCD的边AB的中点，连接DE，将△ADE翻折得到△FDE，延长EF交DC的延长线于点M，则CD：CM的值为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：设正方形ABCD的边长为2a，CM=x，根据正方形的性质得AD=CD=2a，MD=2a+x，由点E是正方形ABCD的边AB的中点得AE=a，再根据折叠的性质得EF=AE=a，DF=DA=2a，∠AED=∠DEF，∠EFD=∠A=90°，由AB∥CD得到∠AED=∠MDE，所以∠DEM=∠MDE，根据等腰三角形的判定得ME=MD=2a+x，则MF=ME-EF=a+x，
在Rt△MDF中，根据勾股定理得（2a）²+（a+x）²=（2a+x）²，解得a=2x，则CD=4x，然后计算CD：CM．

解答：解：设正方形ABCD的边长为2a，CM=x，则AD=CD=2a，MD=2a+x，
∵点E是正方形ABCD的边AB的中点，
∴AE=a，
∵将△ADE翻折得到△FDE，
∴EF=AE=a，DF=DA=2a，∠AED=∠DEF，∠EFD=∠A=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠MDE，
∴∠DEM=∠MDE，
∴ME=MD=2a+x，
∴MF=ME-EF=2a+x-a=a+x，
在Rt△MDF中，
∵DF²+MF²=MD²，
∴（2a）²+（a+x）²=（2a+x）²，
∴a=2x，
∴CD=4x，
∴CD：CM=4x：x=4：1．
故答案为4：1．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质和勾股定理．