Question

【题目】已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为　 　度；

（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时，时间t的值为　 （直接写结果）．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．

【解析】

（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；

（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；

（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．

（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．

故答案为：90°

（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．

理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，

∴∠AOC＝60°．

∴∠NOC＝60°﹣∠AON．

∵∠NOM＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．

（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，

∵OM为∠BOC的平分线，

∴∠BOM＝∠BOC＝60°，

∴t＝60°÷5°＝12秒．

如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，

∵ON为为∠BOC的平分线，

∴∠BON＝60°．

∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．

∴t＝240°÷5°＝48秒．

故答案为：12秒或48秒．